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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 wC@o._Y6E  
uJO7%Mj  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ePPzn7o  
cTAWI[G  
　　1、三角函数本质： h*S2i  
o*a%  
　　三角函数的本质来源于定义 20 zYkt,  
 R1 WM  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 %1;3_Hl  
Z1LcXb  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 \.f0$C|c  
rlv0%?L"6  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： TZ/1"xD P  
sA`N551B  
　　推导：  qqm  
>CM/[x5  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 <`@1hy}qsO  
!RJ"col  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) VcJ$`  
ds>!f }]  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) &cUijsg  
A+7 ^G|  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 1;C661tLl  
oJ]dH*}|pu  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ?p Q^%9 4*  
kpyQEB;MT  
　　[1] {7h85)j4P  
{""e|/!V  
　　两角和公式 1H6tQ%Z4  
.VY@1{'  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB >99,XH_~  
y81p  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ?Pl[;sT*  
] DTJk|d  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Wmc~Jt-Q  
:-Mu"Q%#?  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB -E+9G]PJ~  
8Mkk_uar^  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) jl;:uLlf6  
r$auoA2I  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Qt- Od"|  
\hAW*7d%)  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  n:O 9n3'  
d85Wp u  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) uY6'|(tZfJ  
*@(9[@A_  
倍角公式 M\C96  
6KW{o:f9f^  
　　Sin2A=2SinA•CosA /nc2nU!aj  
k-G#A._&S  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 9- PR26  
tBKq9}2  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 7PE@5paS  
R,(BPLnl  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） |{f#DbH.'  
fOzEqUj  
三倍角公式 g1el+XL  
(3V Ao/  
　　 \F># u  
Na`YI1s  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) h-w- ?&+  
69M)y*?l*i  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) EK?_|7},  
-3J5t`:_Jd  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) <:rF31  
hSp~2r^  
三倍角公式推导 Qn~d\X]  
o* CB8\~@{  
　　sin3a MQ]6dq*  
< =Z  
　　=sin(2a+a) t=0YSHTlK  
!c^!_. 3v  
　　=sin2acosa+cos2asina }ig: }  
gT_UHNvt  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina YRQ(6w?  
L>im@1o 8,  
　　=3sina-4sin³a / =='N B!:  
jeI!e*m,  
　　cos3a Ra@< V r[  
tU= 4K  
　　=cos(2a+a) X]>4%nfL%  
Q`U c#^:  
　　=cos2acosa-sin2asina ';"2!bO|  
=YpH5pzh  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa .w_C6F/IA  
)h$Kr@P1^h  
　　=4cos³a-3cosa \^bfHc,;)?  
rfa^ 'u/  
　　sin3a=3sina-4sin³a 2!Ad_:a  
XfUz| !F=  
　　=4sina(3/4-sin²a) =h(8jf]1  
o?oJ^"}  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] h&d^_?'24I  
u1m:aSKGc  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) # 8 4   
io:frb Q  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) L6 Q=_ G  
v),8(.^L  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] fuK<0W  
t+]hiv 1H  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Q#OYU0;$<  
L(2eL#0  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Oq>u V)  
 qFZ#F`  
　　=4cosa(cos²a-3/4) \b}_ s  
.P`iRH{R$  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] %s Hj\oR7  
xKq k$MY  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) j%t<V&3Y  
Hl;GZW5  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) q`WUN  
}*DUYdrI%  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} $6jMxj  
<+^vL` tG  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) f8_H<8  
IXS-JA"fTR  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] zlpV7Y{a68  
q #8&=x  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 1gVqaAn/e  
VqK&LfgD  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) lGd  
\6Dd~5r2/]  
　　上述两式相比可得 |;+\@)  
 ugWtMtMB  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) c5m2\m/R  
/k_S <o  
半角公式 yFhPU$<  
cYAP#iH  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ?^Q{ *tw  
c}[{{61Ye!  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. #]tX(d  
3%FUJ|Ew  
和差化积 %i HWg"DR  
bJ0'd2{+n  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] n\Rs"5.q  
-|7?Cv,  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $L?_S8p0e  
&u=*5uzu`  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 3;8jS  
#o+ # <  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] /@D|KVb  
i?\rdK?  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) :GEEH3jdZ"  
hpiOl @H,  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) w9jzi k/  
3=Qo=y}1  
积化和差 tL` urs(  
b).4}-`x  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] YQICmGe~u  
>J< 2X3  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] RG Vy*?k  
\NEw+kf  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] $yPu2YoO  
e><vwJ_s  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] :o?]MI`/}  
4X Mi4kc  
诱导公式 #jIRY&*>h  
.a\|/"E!U  
　　sin(-α) = -sinα bMj(5NXT  
(gj=$e6_  
　　cos(-α) = cosα I)0EnL(n  
b<?-GYUv  
　　sin(π/2-α) = cosα Yo{pg_s Tm  
73c~8A1  
　　cos(π/2-α) = sinα "Z\pGHBa  
m8?(EOw  
　　sin(π/2+α) = cosα )`fZ2zDW  
bi#6K)3"%  
　　cos(π/2+α) = -sinα L|Yoi=@Q*  
+&~Bs)GL-  
　　sin(π-α) = sinα k$VzW  
]P q$r~[F  
　　cos(π-α) = -cosα T&fL92F7I  
}n=,P(C*  
　　sin(π+α) = -sinα "Q%9Xw2*  
:Z XShrG"  
　　cos(π+α) = -cosα Wi;Q\)2I  
P(PmrKi1I  
　　tanA= sinA/cosA DzxvZ S s  
^l+l+z xk  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα w)uRxFI8h  
X3"W{Cb7r;  
　　tan（π/2－α）＝cotα 9KEjNL N  
3wu1oMA  
　　tan（π－α）＝－tanα x}jE6UB[  
#v6 l0#_,7  
　　tan（π＋α）＝tanα T'Q=>uY  
B8Ep~7 :  
万能公式 `'jKH5;  
#@vtqA+'  
　　 <?`Tn.`O  
wzKW8&V!a  
其它公式 B .o@&R>Y  
Huvbd+{*M  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 *&4bzNA{  
Z:MUo/  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 6Z\vRYQy~  
,o?;A4# x  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 'rB^ D5  
F [ E t  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 COxk7k4uC  
0 pN]  
　　对于任意非直角三角形,总有 #B071X)j4  
q/ehzAb$j  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC h`AG!W97js  
-6:w6q+  
　　证: @mur D*Y  
H10lC#F  
　　A+B=π-C 1Ae+|E`9  
us5!`-  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ~?yEfbXl  
AtHy7  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) qBf9{6   
0!`PZL  
　　整理可得 ':_ m #'  
*]3BX" /  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC =LIJ j$   
! $y>  
　　得证 7d4r6hoC|8  
a?_J4c  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 A"cAL ^  
(dw!RhN  
其他非重点三角函数 I"b$%Db  
jx 8_gB*  
　　csc(a) = 1/sin(a) UDtWQfK  
cYvuLa^  
　　sec(a) = 1/cos(a) Kc"*UGg  
+z>&; E7  
　　 14RoN0B  
#[p0  
双曲函数 !bQr*U){  
f0+P_ >1  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cUD0+Q7  
[-~M]-mM  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 SIP4 !.![y  
M].$%%E  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) lU= 95  
lU/cpo1sp  
　　公式一： O> 9o  
|M ^!DW  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： P7{mh  
/@R$Xb=  
　　sin（2kπ＋α）= sinα { =_e^  
] Ew%=N  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 0;!Nkw-F  
V?roI\g(  
　　tan（kπ＋α）= tanα K_sI-53  
xWA9T+(0  
　　cot（kπ＋α）= cotα }U`N3z  
CGV#Sh#na  
　　公式二： ? /"y`^  
6tq?i)6q  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： orOo_}s@w  
eiBDQ K/P  
　　sin（π＋α）= -sinα :/ '&q`^  
9D pgG j  
　　cos（π＋α）= -cosα C\BTe{ d  
s>T9|7{8  
　　tan（π＋α）= tanα GR x:w[a  
xO,C%VJJU  
　　cot（π＋α）= cotα s?\}8Q }  
| h04fP  
　　公式三： w^(ss  
! dz2x".QM  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： : {?gI#k  
Bv!|P DL  
　　sin（-α）= -sinα o0"u OCHy  
929 vUrXRj  
　　cos（-α）= cosα QCecu_}  
~oT#G K  
　　tan（-α）= -tanα &P*}-8h  
y?BMQ4_c  
　　cot（-α）= -cotα l[`82To5  
?nij,Ei  
　　公式四： w1NcU=pT  
w(~yF$7xi  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： *]Qr0?=q-5  
":MD<jqV  
　　sin（π-α）= sinα J\l~^co  
5l62$mS  
　　cos（π-α）= -cosα <Q$Lp53J  
=[x ~M]  
　　tan（π-α）= -tanα ptL\WB  
.u%Z%L  
　　cot（π-α）= -cotα 4 ax {y  
0S9yGV`n  
　　公式五： Xq+$gW+  
@ x#W xS  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： |Ugyg5FD  
I]Tbna:yb  
　　sin（2π-α）= -sinα N H)h"10,  
Z THck/]  
　　cos（2π-α）= cosα *=f H6  
oL4AR}X  
　　tan（2π-α）= -tanα UHMe#pF  
2D4<ac`  
　　cot（2π-α）= -cotα w]x&kqt<  
#I i?o@\'  
　　公式六： .b*6,h|  
@}rUA+\E  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： g`1^{p=?  
H<,K^|  
　　sin（π/2+α）= cosα gw 1=  
gft.2,}&B  
　　cos（π/2+α）= -sinα iN6?A>  
j'}bTORn*  
　　tan（π/2+α）= -cotα /ZlB~ y_  
;5CctZ)B~  
　　cot（π/2+α）= -tanα kRA^00[ E  
`j [h7[N  
　　sin（π/2-α）= cosα tG /x8^i  
?.9xu  
　　cos（π/2-α）= sinα ZOjg/U8  
i?tL|-;M  
　　tan（π/2-α）= cotα %l#{J-jr  
Aw")%  
　　cot（π/2-α）= tanα bxikwZt@  
S xtFXi  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Z^W/Ht%\  
~rF>6Ud]B  
　　cos（3π/2+α）= sinα m dkw[4u4  
ur A z aD  
　　tan（3π/2+α）= -cotα %uK9>h  
t6&{.pn  
　　cot（3π/2+α）= -tanα |&t@4  
07&\~7  
　　sin（3π/2-α）= -cosα w%?nCi??  
|m[@c(U  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 9/}:M+3  
Up#|%9V  
　　tan（3π/2-α）= cotα SXluI,)  
fM9Lm,w  
　　cot（3π/2-α）= tanα t!Wk7bm4  
w.8ne  
　　(以上k∈Z) KffJQi]@N  
l1 %&c=  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 3F+z!Vgt:  
(j0h[QE  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Ea" `   
F?THZM.d  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } -3:4/A  
F8BnEC  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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