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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 )z~3YU-:>,  
&u;ul]s];  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Y1bS927  
eFv / 59;m  
　　1、三角函数本质： q#7!bE34y  
 _PE;>  
　　三角函数的本质来源于定义 D; Bn[  
s/3R$d <  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 QYRIb"E,"  
'zA^\P`=  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 hBVkHoF4  
u\rnfN  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ~Qbb2bSke  
&YV~dX%Q  
　　推导： %,?f c  
$D*V%5)ob  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 F*m)%zF(>}  
Je%m3#T  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))  U?C>eb  
JQTG"x{P^a  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) k0wLqddCw  
}r[>HJj;.  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 /YV] xrg)E  
K|@AP0x  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） $O 3@4OL!  
a%2_3$  
　　[1] %A/r"^  
dhYnZSJ  
　　两角和公式 nSwcV+ ue  
tEx|-q#   
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB bl$+ybMG  
K)h78t)  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  W }_pwLK  
D,odtQiG).  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 2Rk_v8]  
o6 @OfK  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ${(|:oLAF  
^LHVPBk<  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) k3;:fQuiZ3  
9| ? r:(~  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) f6[qOg^LW  
WnTgXfiZ@  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  EAgMu:qA5  
DLIe/  r  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) &km\CH0&  
dlXQvIm*  
倍角公式 jT< /$*5  
iL;|m.aQ\3  
　　Sin2A=2SinA•CosA n/xfB`2z  
%G(fVs@#z  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 1s hURU}  
t E[  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） `FcTY?r\t  
`&N&4rD5p;  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） z1)X@ze-]  
5+ Ci:[  
三倍角公式 ?wL;G_/>  
U 2Dsb$k7  
　　 \btL]s/  
Oj: i5*M  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ,1C.x kPz  
ny>B ySo  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) R3(fZA[L  
2i,d^ lf  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ? t/qTL*  
oE$%NTw6S  
三倍角公式推导 ^2iqQ-=  
z (}Zonr  
　　sin3a 29K|A>'  
;7,o7|ov  
　　=sin(2a+a) $ OPIl  
|x*GkYR"7  
　　=sin2acosa+cos2asina }r-d?_?$  
js}_6  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Pq9^D"y&|b  
^%Pg#%  
　　=3sina-4sin³a }RW &G?*  
\.>fN)I  
　　cos3a ;|Ao Zl  
0U<MYS  
　　=cos(2a+a) 86)R5+]O  
LiwL)B,=`L  
　　=cos2acosa-sin2asina !52MFgPU@  
G(7/ q ;e  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa LvR:f3VX <  
reK5)*-  
　　=4cos³a-3cosa [LdV&74-5  
_5`E&vh}  
　　sin3a=3sina-4sin³a Iy~9;3M:  
.Zg -iK  
　　=4sina(3/4-sin²a) c`KR%  
q7jVv  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ,-M'XE.|  
Xqj}|w   
　　=4sina(sin²60°-sin²a) (bASz}h;  
: fo6  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ;; @m4dA  
z2tRI>G]  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] %ta/5%1]  
#gwcdD!Sx  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) %ZN ?B-  
|Q^fo7X|]Z  
　　cos3a=4cos³a-3cosa AS7PX$9Z&  
rzTDAq  
　　=4cosa(cos²a-3/4) N0WKtP  
?}{Jq3I'  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] h Fm[eB3s  
#`pb9Gc:  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) LSk&s;{z  
uu BRBy#e  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) x;?ui!{`  
BsQ6{2 +Qt  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 9p _z{KK  
v%he<G}&  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) f=rv-qd  
ea83N,K/  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ( H+IQ@ZC  
9j5FlW`~  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Kz/N4>`i6  
K[ p/seV  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) V "Z'ed8  
##>-cZl  
　　上述两式相比可得 ^M"e 1$ [  
^lx0qs|  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) >X.[ 61  
(> <0|  
半角公式 [O^g  
 olcwF)  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);  = G$y*.  
 GdEfbq-|  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. i"C L6ZR  
#,\PhN.c  
和差化积 2g/i1r6-<I  
LC_OvS-  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1<{ x+}\  
Y`.v2`"  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <khaP 53;  
cV[eUnLy  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] COdY&x^  
j ERV9  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] sE:@k]3v  
/dxm MNr  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) <g'[^NaS  
8&3(}U!m  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ~zUw<)F$  
.\9>~  
积化和差 47 C`E  
6 h#uF~Qv  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ],fPigB  
[>L[kM8  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 'rH}%i^t^  
2>V=pGd[  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 7M.Eqmf|  
^=q>2gS8  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] d[NOMwus  
_crA1l!W  
诱导公式 \w1~ZYO  
TdQ dqy  
　　sin(-α) = -sinα Q/QwYG%^'l  
 M8$icQ-  
　　cos(-α) = cosα u\{[Xm+<  
~Vc"3ra#(  
　　sin(π/2-α) = cosα \Dnr9N"2oW  
*Vk*b0hN  
　　cos(π/2-α) = sinα i-[rb\B  
2 =Br&Zen  
　　sin(π/2+α) = cosα P /Tl  
sDNv< ?>@  
　　cos(π/2+α) = -sinα 0r;U@G  
#y._Jkfo  
　　sin(π-α) = sinα 1b{co''d  
tmKB6Q)b  
　　cos(π-α) = -cosα ![ae/np  
7^of .f  
　　sin(π+α) = -sinα mZMaT}#7T  
uJ$-m,,+>  
　　cos(π+α) = -cosα {x05xRdjT  
>#u #Z{Xvg  
　　tanA= sinA/cosA m9 N}`r"  
h^y|QH3o  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα @ R*Rxd!  
.jh24zr  
　　tan（π/2－α）＝cotα QPY[GeKR:  
r#o+JO9j  
　　tan（π－α）＝－tanα ZJQOoN]-N  
xy G>sp  
　　tan（π＋α）＝tanα J"tt(I0Cv  
rKjzR%Jw  
万能公式 ,/~G0SStnY  
w> 2Xqd).  
　　 @=\SCoi  
1" s'\jL  
其它公式 {iL_K.m5  
<5AGnp1  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ;GEASoQ6  
9[/ } 7  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 vc]6`iC%i  
G\T!V]r2Z)  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ?F 9r~oh<  
?`Fl&]o?  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 L4_  
dBf`pwJ  
　　对于任意非直角三角形,总有  cl 1L"W=  
QxO@)Ex  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC T`HdxcmD  
=@C&>Jof  
　　证: O\~rx_8i  
;< lOit  
　　A+B=π-C vq)gV7 l  
qq*!F@2y&  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 0J+c#!s7R  
)M 2K<l69[  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 3'-^^$ -  
@e ZMGPp  
　　整理可得 l|&v=mrSp  
L &?.R4!&0  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ?K_B AJ;"U  
M7_y"l,v@`  
　　得证 %OQI'_~M$  
S/p$Z:F:  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 BBv!N22M}  
 < :Zo6o  
其他非重点三角函数 L N"<UaWJX  
X ]3t  
　　csc(a) = 1/sin(a) }N~/9t  
u%N.g7[L  
　　sec(a) = 1/cos(a) I^(i]lNGf  
a<XGvm  
　　 L2yW  
,RxsgZJJT  
双曲函数 L MF6F'  
3"{5l   
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 / #)O9(b  
,ZWZ>#?  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ~5[4}X=+"  
:)\ H =`  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 5_S:Lk(y  
o2}rF;|A  
　　公式一： :i!Ba6Y)<  
aS4E(;%j  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： S11uw012  
#~r#]9 |  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ]K''~h0 2  
bdX Y3F  
　　cos（2kπ＋α）= cosα HcBzW,h3  
4c6>7<C{2  
　　tan（kπ＋α）= tanα <v 2p^},  
qts:Y0:D  
　　cot（kπ＋α）= cotα $"c#~}  
m,0[_z  
　　公式二： -s}Du+\  
&[3|*\Wz  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ]@ $mq6VD  
Z{i-~  
　　sin（π＋α）= -sinα -3_yq !X  
}gf&w Pxk  
　　cos（π＋α）= -cosα a5Xg{cwY4]  
V` E.  
　　tan（π＋α）= tanα ~&>*t?dq  
%i n-  
　　cot（π＋α）= cotα " 3H)^G  
*aB'$^)^  
　　公式三： UlsUiBd2  
6F? M1  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： )urN'2Fq-S  
Lw@y'wp!x  
　　sin（-α）= -sinα 7x74>O:  
1#^pR%?Uy  
　　cos（-α）= cosα N;YkX|5}  
3qt LM)  
　　tan（-α）= -tanα t~unnr8b  
\tlh^aj.C  
　　cot（-α）= -cotα tr/ >a+<  
~n%!gD%l  
　　公式四： SW^<$S  
qU)~p%  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： > QF  
.=[iDXZ;  
　　sin（π-α）= sinα 5VdLU  
-q'mNYg  
　　cos（π-α）= -cosα i}xIzlwK"  
J{obGD O  
　　tan（π-α）= -tanα LCw7oY  
jK^]Ml  
　　cot（π-α）= -cotα pNBu:<h7  
'> -et|8  
　　公式五： DY=-=2mc|  
TcOS+C  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： r% pt,  
(D8r2l@?Rz  
　　sin（2π-α）= -sinα Wy3xyAm(}]  
>"=^/Vr$w  
　　cos（2π-α）= cosα {#*J|Sq[B  
>lBqp6\L  
　　tan（2π-α）= -tanα rr%fCC  
]TK6\,\f  
　　cot（2π-α）= -cotα `$_76 #3q  
G1) ij.i  
　　公式六： z v K'}^  
O}=w ~  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： f,d hSG  
r9y%3_$)E  
　　sin（π/2+α）= cosα T?$ 9R:_:S  
+b Yx@  
　　cos（π/2+α）= -sinα /5pB|W/F  
k)GKvJ(  
　　tan（π/2+α）= -cotα k8y_Q!"=8  
>u P"&):H  
　　cot（π/2+α）= -tanα ,oc~JE  
}+A V6;X  
　　sin（π/2-α）= cosα T_}L_{qe|  
r(qlFZ`9H  
　　cos（π/2-α）= sinα =ITa^h^=  
bmkMUt  
　　tan（π/2-α）= cotα ( D-4  
V/5U(;$  
　　cot（π/2-α）= tanα Xam~Ft9C  
h{sP0~k  
　　sin（3π/2+α）= -cosα d</ n)#4  
!@n +RnX  
　　cos（3π/2+α）= sinα YK2 DA6h  
vWp8 Yx*.  
　　tan（3π/2+α）= -cotα c8o[_i  
"lVwlC|>S  
　　cot（3π/2+α）= -tanα n}SI)T(J  
'R'Ky5l8  
　　sin（3π/2-α）= -cosα w<'Uj9/%R  
8vk{Qe#  
　　cos（3π/2-α）= -sinα O>w~  
j T}ZM+I  
　　tan（3π/2-α）= cotα O]{^ D9WhX  
;|{z6Me  
　　cot（3π/2-α）= tanα 1z2Yq|):[  
Z"b)m,  
　　(以上k∈Z) 4rOAI*jC{  
 DcF6k  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 pdNTDSJ8-  
.*~C}\cb  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = aXg%~j")aJ  
*7IFI{@Ky  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ud`e7?`b  
s s{{tKF  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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