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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 G`B"b6[  
X|Z/]FIf  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. v&Qqx^6q   
`;4CyI>  
　　1、三角函数本质： cp,j=uqm>  
0v _ ^{  
　　三角函数的本质来源于定义 =in3Ew  
I2:l9(c_  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 <Fit 3v*  
U3yFrB|z9  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 'mmY"FY  
0x 3sV4h  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： `Awscm6|v  
^HIVKj{^+F  
　　推导： H7>PFN'mx8  
pK }dm?V  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ]>m?~*ht  
oDS}P3mlu  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 6gHu'i~NZ.  
hT+y<JC2  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) *^1c{M6wI  
dA*`5"{  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 85!U0S)  
[fuf@eu*J  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） }<p+%\f  
}16X6;  
　　[1] wiSkkk%&M  
hSZW6%~  
　　两角和公式 "51YIfsv  
If{7M|W6u  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB WvloE=rm  
MN0Q=D  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  aSk4_DjIa  
? rL1B0  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB jPaN~uAR,  
nM R&?-[  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Y 0C4y_  
VGvM@h  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Lg?|*^,k  
GC?a[Dw  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) >f>dge,k  
"# pPRN  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  L ""4#+h  
U [.'z0~  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) | :CLpY  
$4Q/=r[3  
倍角公式 1`&g)rk  
kQlt-kE*  
　　Sin2A=2SinA•CosA WY$^: )W  
!yE _ t5  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 +%z>09  
wXBes@#:  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） yk0_T<[43  
>~@]0k0"  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） #Lntc#25#  
!`TIzykk$  
三倍角公式 Pz07R:JWyg  
"{R8_*N  
　　 f{;p#M!z  
~\8@rX'  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) |k10R(+5;  
0r.<';/;  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) `1)YKHd  
QU|,lQ;  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ,it  
qzh45Ms  
三倍角公式推导 eljWva$?SG  
'&;u[Qs_er  
　　sin3a EFs? t"S  
&| </zM  
　　=sin(2a+a) ]%=k3A  
`|$C.]  
　　=sin2acosa+cos2asina W:`xp :d  
&l$@C2H  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina <1rh\',T  
0 pl;Y7  
　　=3sina-4sin³a j,>}xh TMu  
c|Ns,XZ  
　　cos3a M<UR1ju  
T6C&=KEFyK  
　　=cos(2a+a) gm'nA!D?  
.mi0oX"|W  
　　=cos2acosa-sin2asina st%ihR_  
jC|r[Uyq  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa `'YRB6?  
j;jgDd,jXq  
　　=4cos³a-3cosa Pku)y a;"l  
?bXUx6av.  
　　sin3a=3sina-4sin³a ~U*a,)#  
kg'_/@ka  
　　=4sina(3/4-sin²a) 6 H"[  
{/ m#5$  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] %^vX[;(a  
$WT _E'  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) #=J Y!{7  
;zVfS N#  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Nu44? (  
:nH '*W !,  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 5}T-7LM\  
h;)Jp}P)  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) b[}%r~I8  
U3iK  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 6|Oz2M Xf  
KTKHeP K  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 0fH!Jl8Ky  
*(]~k|W  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] uG .q1)R+  
+7ClGbx+  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) aOVQ (\  
$JDB(s9dGX  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ?"|#  
oT*-? sG  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} hP?J4v  
$Y &wvPp"p  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) c'*Q>T){  
a; [,B>Y.  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 6sr<J   
Ri6jWku1A  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] -;-HSD?$n  
9pFSh9pB  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) #_OrzEh[  
rM T46H  
　　上述两式相比可得 &7:o-n&rr~  
2[w'C]Ks<  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) pNR+OoBNF  
?a5 LA"wl  
半角公式 "6z]/w  
ELoH{  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Z*Y%&dp  
ZLU3vX  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. {A`5  
9wJ.;nT?  
和差化积 k T,,u  
|PKi?qk-  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] I*Jp_  
B`m/pdI`  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] lT@Fm$^  
&'p+J  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] o-h !X:  
]?| }  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] LP1 T>XQ  
 h@ sQ#  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ]KO;^ tvz  
T1<#7=6Nc  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) )}B 5O5  
Y#;I22&X  
积化和差 fFP]Qp_  
#65  \`  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] S f5I#,D1  
3<irszF  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ]_PoUnU  
)f"Y@Zu  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] jY V s u  
VQxW3pq{D  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] |*"H+)\  
`N *'.Q$>  
诱导公式 xu?mxZIa  
 a1>Y  
　　sin(-α) = -sinα R+$zXQ 3  
/:-\-\_ >  
　　cos(-α) = cosα Qn v& `,f  
*0#FI5#'g  
　　sin(π/2-α) = cosα :yWf#CH($c  
|,ti #TOEG  
　　cos(π/2-α) = sinα 6Da^7Nc  
Ru+[SD1"   
　　sin(π/2+α) = cosα OD [0*4X1  
pZ8c2#TE  
　　cos(π/2+α) = -sinα S Wgj !+  
5R"{XlX?  
　　sin(π-α) = sinα `Y ;i0U#  
?A:&rp f  
　　cos(π-α) = -cosα 5Cb@'Xk  
tV)r Q  
　　sin(π+α) = -sinα '$(cb3)  
vN.B~T6l  
　　cos(π+α) = -cosα E #M ?[tZk  
.}]cY 0*  
　　tanA= sinA/cosA D Db8tm  
6e12Wk-  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα m FId$L j  
pXS'(J  
　　tan（π/2－α）＝cotα Gt 6O=  
az*v1=h  
　　tan（π－α）＝－tanα ob u3;g>"  
}*b9kMj\  
　　tan（π＋α）＝tanα esl4<->jTr  
hE P``Ih  
万能公式 h$/#G*U  
l6uMQ  
　　 D~QT6nn  
j{+C5{@ @B  
其它公式 I%O6<+5)>O  
PXE5Te0.Z  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 MqcC1b EC  
xI^u5>qm`  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 gQnjG[  
V2>oZ /;  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 l~crlYY  
 CW+|Hf(  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 82{s{[+,  
qnKv^?d3  
　　对于任意非直角三角形,总有 ~cdJ!A'8  
*ihG}4'%  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC TfFhB-~>k  
U#f(}x*  
　　证: ,i|]?C?rA  
)l:nR  
　　A+B=π-C #H?m*b  
[]J+ 3.L  
　　tan(A+B)=tan(π-C) \T5BD!<  
:<vlidm  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) c(bq&fux  
;iu ?`j7R(  
　　整理可得 bh/tunw*1  
i%`>  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC *!NtJVr  
f|K~0~#gM  
　　得证 / M/ Y?Zs  
3NBFCx[Y/  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 *e -)#  
eclN<{SrP  
其他非重点三角函数 o_+DK)*  
@@[*Mn9Z  
　　csc(a) = 1/sin(a) h 5>.r  
GEd1`EJ  
　　sec(a) = 1/cos(a) _= D_d\k  
X;['OotE7  
　　 0[i# BeyJ  
,$7`Lx\Ca  
双曲函数 ]/G`mX;8  
Odot)=7L  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 9L}lOTA7  
'4Rv<ZSu  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2  Jo 9@  
`2{D+0|g2n  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) i@a8H$#x  
lFHh&6[`  
　　公式一： 8E V#j*  
 KiIk6}K  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 48V(iOR"  
jfD'!g;=~  
　　sin（2kπ＋α）= sinα !qp3d  
\=!"s:  
　　cos（2kπ＋α）= cosα sC-!aEk  
w>gK)z&/Iy  
　　tan（kπ＋α）= tanα RK=pD+?lt  
$R<_axh  
　　cot（kπ＋α）= cotα *F7tp#  
B703RZ0  
　　公式二： (l^8Rp E  
l,TUzy?  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： [[5+lv!z  
D3jB gL  
　　sin（π＋α）= -sinα <am7!+4}W  
v_8H ,1P  
　　cos（π＋α）= -cosα Ljv3PpV_  
b MC?J,|9  
　　tan（π＋α）= tanα `F<$1_h  
%X ?=22M(  
　　cot（π＋α）= cotα o h 7 X4~  
!]v~$Ae=9  
　　公式三： ya(cuY+  
6(cr5"K/|  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： O#' F>RG+)  
'$I~!R  
　　sin（-α）= -sinα 0Sxw;2Nq3  
v@lArHG*  
　　cos（-α）= cosα @@yx%adE(!  
u. by&;"  
　　tan（-α）= -tanα EBrT%,n:  
L: aYKG  
　　cot（-α）= -cotα EbetoFy-e6  
@~F0WS  
　　公式四： 04qXAOpj  
 yN)l  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： KX}J7F  
VYs:;4  
　　sin（π-α）= sinα 4*qAu7+  
okL;$F]  
　　cos（π-α）= -cosα e4\B_=()  
X Xa?O5e.  
　　tan（π-α）= -tanα ]u'* qX,  
ME AL&-  
　　cot（π-α）= -cotα lcM cNB  
OvM1lMdT  
　　公式五： )2 )"yp  
uf-:Zhv  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： c_)"J3E34  
2*PN7PV  
　　sin（2π-α）= -sinα e;g.P)?  
m`d3+#  
　　cos（2π-α）= cosα D6V T2~[  
?{a(~Tn9j  
　　tan（2π-α）= -tanα C= >5t7hm  
vPY#!~>@&d  
　　cot（2π-α）= -cotα S3TNY|'F`P  
9v8xLT{8  
　　公式六： /0A d #n  
EsPZ<m3  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： p,>VAQ*  
j z<,t?  
　　sin（π/2+α）= cosα B~KrI|  
cq m  
　　cos（π/2+α）= -sinα O@SV4QDvI  
?Bm8  
　　tan（π/2+α）= -cotα QaI47>j  
5 .r5nQx]  
　　cot（π/2+α）= -tanα z6b@8#3>  
m/!)XaR  
　　sin（π/2-α）= cosα 5$alx3  
ZBt#Fypj  
　　cos（π/2-α）= sinα E:2Vipv  
D7PwWHp  
　　tan（π/2-α）= cotα *0B Pga  
t p/-L4  
　　cot（π/2-α）= tanα sc E2&  
GTQdR4 qhy  
　　sin（3π/2+α）= -cosα >lKcKjX{W  
%4iRjJ B  
　　cos（3π/2+α）= sinα 8BS}iPjW  
kv4<^;Y8  
　　tan（3π/2+α）= -cotα | h<]W 4  
MZ{bJ]O !  
　　cot（3π/2+α）= -tanα  i?)bJm  
udxpqY3u  
　　sin（3π/2-α）= -cosα yx27|yGa  
'V 0!k  
　　cos（3π/2-α）= -sinα R=R{F<`$bw  
o3(L,6&F  
　　tan（3π/2-α）= cotα :cSQ{q6W  
8L(b6Cr2  
　　cot（3π/2-α）= tanα %toFzS  
$4T9E5W_  
　　(以上k∈Z) G Uf HL=  
iK /NP  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 T{`K/M  
wS 4~5!S<  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 9W'*W~  
{Fqf^v  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } O:WB'#  
]U+<SR8  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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